Pitagora si geometria

Pitagora si geometria

 

   Civilizatiile antice au dezvoltat diferite modalitati de descriere a lumii, iar unul dintre cele mai importante a fost teoria raporturilor geometrice.

Imediat ce umanitatea a inceput sa inalte cladiri, calcularea dimensiunilor a devenit o arta esentiala. Marii constructori ai vremurilor antice, babilonienii si egiptenii, au scris tratate de geometrie. Acesta este numele dat acestei materii de catre greci, si inseamna masuratoare a pamantului. Intrebarile practice pe care si le-au pus babilonienii s-au pastrat pe tablite de lut, vechi de 4000 de ani. Un exemplu este: "O grinda cu lungimea de 30 este proptita de perete; partea de sus a fost coborata cu 6; cat de mult s-a indepartat partea de jos?"

Rezolvarea problemelor

 

  Nu exista dovezi despre felul in care au raspuns la o asemenea intrebare. Probabil prin masuratori directe: exista tablite ce contin dimensiunile unei game intregi de triunghiuri dreptunghice si ei cunosteau cu siguranta triunghiul dreptunghic cu laturile aflate in raportul 3:4:5. Acesta este raportul care demonstreaza cel mai clar ceea ce a ajuns sa fie cunoscut sub numele de teorema lui Pitagora: ca ipotenuza la patrat este egala cu suma patratelor celorlalte doua laturi:5²= 4² + 3^{2
  
   Desi nu exista dovezi ca egiptenii ar fi elaborat aceasta teorema, babilonienilor acest concept cu siguranta le-a fost familiar, in timp ce Thales (secolul VI i.Hr.), pe care grecii l-au considerat primul lor geometrician, a invatat fara indoiala multe din surse babiloniene. Un lucru este sigur: nu lui Pitagora ii apartin meritele pentru teorema. Aceasta i-a fost atribuita cu mult mai tarziu.}

^{Religia si numerele}

 

   ^{Pitagora, care a murit in jurul anului 490 i.Hr., a fost fondatorul unei comunitati religioase din sudul Italiei. El nu a lasat scrieri, iar detaliile vietii si ale invataturilor sale sunt cunoscute doar prin adeptii sai. Conform acestora, el s-a nascut la Samos in Grecia, ca fiu al unui negustor, Mnesarchus. A castigat intrecerile de pugilat la cea de-a 48-a Olimpiada (554 i.Hr.) si apoi a pornit intr-un sir de calatorii lungi prin Orientul Apropiat. Cand s-a intors el si-a infintat gruparea religioasa in colonia greaca Crotona, in sudul Italiei.
Acestea se intamplau in jurul anului 529 i.Hr}.La inceput, invataturile lui Pitagora au avut un succes remarcabil, iar filosofia sa a fost adoptata intr-unn numar de colonii vestice grecesti. Insa el sustinea ideea unei aristrocatii, care intra in conflict cu idealul democratic grec si ca urmare fireasca, intruziunea pitagoreica in politica a fost urmata de revolte si masacrarea majoritatii membrilor fratiei. Pitagora a plecat spre nord, in colonia Metaponte si a ramas acolo pana la moarte.

Invatatura

 

   Insa doctrina sa a supravietuit. Ea a fost enuntata, aproape nemodificata, in dialogul Timaeus (aproximativ 350 i.Hr.) a lui Platon, a disparut timp de mai multe secole, a reaparut o data cu neoplatonicienii in secolul al-III-lea d.Hr. si a fost absorbita in filosofia crestina in secolul VI.

Care a fost invatatura lui Pitagora? Baza doctrinei sale, derivata din idei pe care probabil si le-a insusit in timpul calatoriilor sale in Orientul Apropiat, a fost conceptul ca universul este o creatie divina, in care rolul omului este de a-si invinge firea animala si de a incuraja divinul. Legata de aceasta era credinta lui Pitagora in transmigratia sufletelor. Insa doctrina diferea de celelalte prin insistenta pe care o acroda numerelor si disciplinelor legate de aceasta, precum geometria, aritmetica si muzica. dupa cum spunea un vestit principiu pitagoreic, "numerele sunt totul".

Probabil cea mai mare descoperire a lui pitagora a fost faptul ca intervalele muzicale armonioase pot fi descrise prin relatii numerice foarte simple. Cat timp tensiunea este constanta, o coarda care vibreaza intoneaza octava daca lungimea sa este injumatatita; cincimea, cand lungimea sa este redusa la doua treimi si patrimea, la trei sferturi din lungimea sa. Pornind de aici, filosofii pitagoreici sustineau ca toate fenomenele naturale sunt armonice. Cerurile,spuneau ei, alcatuiesc o "scara muzicala si numerica", un concept reluat de Johannes Kepler (1571-1630) aproximativ 2.000 de ani mai tarziu, cand a incercat sa faca legatura intre orbitele elipsoidale ale planetelor. Chiar si principiile abstracte ca ratiunea, dreptatea si casatoria au primit o identitate numerica.

Matematicienii scolii pitagoreice erau fascinati de numere si relatia dintre ele. Asezand pietricele mici si rotunjite in diferite modele, ei au renuntat la ideea ca numarul este doar o masura a cantitatii si au stabilit un concept al naturii sale mistice, magice, care a prefugurat calculele abstracte alre matematicii "pure".

Forme

Un exemplu este "tetrada sacra", care reprezinta numarul 10. El este format din 1+2+3+4, dispuse sub forma de patru siruri de puncte intr-un model triunghiular, un punct aflandu-se in varf, doua in sirur urmator , si asa mai departe. Adaugand alte siruri de puncte, ei au descoperit ca suma oricarei serii de numere incepand cu 1 poate fi intotdeauna dispusa sub forma unui triunghi. O serie similara de numere impare formeaza un patrat si o serie de numere pare produce un oval.

Se spune ca insusi pitagora a construit o formula generala pentru descoperirea a doua numere la patrat a caror suma este un al treilea numar la patrat si acesta, fara indoiala, este motivul pentru care numele sau a fost dat teoremei geometrice despre raportul dintre cele trei laturi ale triunghiului dreptunghic.

Forma lumii

 

In filosofia pitagoreica, numarul 1 este atribuit unui punct, numarul 2 este atribuit unei linii, 3 unei suprafete si 4 unui solid. Solidele obisnuite au o calitate ciudata si magica, si probabil din acest motiv pitagoreicii s-au numarat printre primii care au sugerat ca Pamantul este o sfera, si ca cerurile se rotesc in sfere in jurul sau. Ei au descoperit constructia matematica a tetraedrului cu patru laturi, al octaedrului(8 fete), al dodecaedrului (12 fete) si al icosaedrului (20 de fete). Studiind matematica suprafetelor, ei au facut descoperirea importanta ca raportul laturii unui patrat la diagonala sa nu poate fi exprimata in doua numere intregi. Ei au facut chiar si cativa pasi spre forma abstracta de calcul pe care urmau sa o dezvolte mai tarziu arabii si care este cunoscuta sub numele de algebra.

Euclid si logica

Principiile matematice descoperite de pitagoreici au fost adunate intr-o lucrare cuprinzatoare numita "Elementele", scrisa in jurul anului 300 i.Hr. de grecul Euclid. Contributia sa cea mai importanta la dezvoltarea matematicii a constat in abandonarea teoriilor mistice si utilizarea logicii deductive, incepand cu enuntarea unor axiome clar definite - de exemplu faptul ca liniile paralele se intersecteaza doar la infinit - si argumentand, pas cu pas, pana la gasirea unei concluzii. El incepea cu enuntarea a ceea ce urma sa fie descoperirt si incheia cu cuvintele triumfatoare "ceea ce era de demonstrat". Aceasta expresie a supravietuit pana in prezent sub forma "Q.E.D.", din latinescul quod erat demonstrandum.

Chiar si luand in considerare numeroasele descoperiri in geometrie care s-au facut incepand din secolul al-XVII-lea, Elementele lui Euclid a ramas un text de geometrie scolara esential pana in secolul prezent. procesul inceput de pitagoreicii religiosi cu motivatie mistica a avut ca rezultat in decurs de 200 de ani de la moartea lui Pitagora, descoperirea unor principii care sunt de o importanta decisiva in ziua de azi.